Родился в 1879 г. (дата и место рождения неизвестны).
В 1896–1897 учебном году окончил курс восьмиклассной Могилевской мужской гимназии. Позже курс Императорского Санкт-Петербургского университета (сейчас Санкт-Петербургский государственный университет).
С 1902 г. – на службе.
С 1903 г. – на посту земского начальника 5-го участка Рогачевского уездного съезда.
А.Д. Веревкин-Шелюто являлся титулярным советником (гражданский чин IX класса), гласным Рогачевского уездного земского собрания, членом Совета Чечерского кустарного общества, казначеем Рогачевского общества сельского хозяйства, членом окружного правления общества спасания на водах. Дальнейшая судьба неизвестна.

Источник: Вяроўкін-Шалюта А. Д. // Выпускнікі і навучэнцы Магілёўскай мужчынскай гімназіі 1809–2009 : біябібліяграфічны даведнік / Установа культуры «Магілёўская абласная бібліятэка імя У.І. Леніна»; Аддзел беларускай і краязнаўчай літаратуры. – Магілёў, 2009. – С. 18–19.

• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Празднование столетнего юбилея Могилевской мужской гимназии. 1809–1909 / составитель М. Созонов. – Могилев, 1910. – С. 188.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1905 год: царствование императора Николая ІІ. Год тринадцатый / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев, 1905. – С. 286.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1907 год: царствование императора Николая ІІ. Год тринадцатый / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев, 1907. – С. 205, 218.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1908 год: царствование императора Николая ІІ. Год четырнадцатый / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев, 1908. – С. 202, 213.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1909 год: царствование императора Николая ІІ. Год пятнадцатый / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев, 1909. – С. 222, 229, 244.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1911 год: царствование императора Николая ІІ. Год семнадцатый / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев, 1911. – С. 85.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1912 год / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев, 1912. – С. 66, 177.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1914 год / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета; редактор и.д. Секретаря Комитета И.И. Марченко. – Могилев, 1914. – С. 218.
• [Веревкин-Шелюто Антон Дементьевич] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1915 год / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета; редактор и.д. Секретаря Комитета И.И. Марченко. – Могилев, 1915. – С. 200.