Родился в 15 октября 1864 г. в Могилевской губернии (дата и место рождения неизвестны) в семье надворного советника (гражданский чин VII класса).
Учился в Могилевской мужской гимназии (о годах обучения – информация отсутствует). Обучение не окончил.
1886–1890 гг. служил полицейским надзирателем в Гомельском уезде, становым приставом (полицейское должностное лицо в земской полиции (чиновник уездной полиции) Российской империи, возглавляющее стан – полицейско-административную единицу из нескольких волостей) в Мстиславском уезде Могилевском губернии, Серпуховском уезде Московской губернии.
Государственная служба была только источником постоянного заработка, мечтал профессионально заниматься литературой. Стихи начал писать еще в гимназии.
В ноябре 1906 г. в звании коллежского асессора (гражданский чин VIII класса) попал под суд по обвинению в растрате казенных денег. Переехал в г. Санкт-Петербург и несколько лет ожидал решение суда. Единственным средством заработка на тот момент была литературная работа. Сотрудничал с «Одесским листком» и «Биржевыми ведомостями», размещая там преимущественно стихи, изредка прозу. Активно печатался в качестве публициста в газете «Русское государство» (1906).
Дальнейшая судьба неизвестна.

Источник: Нікалаеў, М. Горад чыноўнікаў і рэвалюцыянераў : у змесце пра Льва Іванавіча Касуновіча, пісьменніка і публіцыста, ураджэнца Магілёўскай губерні // Нікалаеў, М. Беларускі Пецярбург / Мікола Нікалаеў. – Санкт–Пецярбург, 2009. – С. 79.

Автор книг «Стихотворения» (Могилев на Днепре, 1886), «Книга мелодий» (Санкт-Петербург, 1902).

• [Косунович Лев Иванович] // Памятная книжка Могилевской губернии на 1895 год / Издание Могилевского Губернского Статистического Комитета. – Могилев на Днепре, 1895. – С. 127.
• Сачанка, С. Касуновіч Леў Іванавіч / Святлана Сачанка // Сузор’е беларускага памежжа : беларусы і народжанныя ў Беларусі ў суседніх краінах : энцыклапедычны даведнік / старшыня рэдакцыйнай калегіі А. Мальдзіс. – Мінск, 2014. – С. 246 : фота.