Навум Ільіч Ахіезер скончыў Мсціслаўскую гімназію (1918), Кіеўскі інстытут народнай адукацыі (1923).

Працаваў выкладчыкам у працоўнай школе ІІ ступені, у Ліменскай школе-камуне (Чэрыкаўскі раён).

1928-1933 гг. – адначасова ў Кіеўскім інстытуце народнай адукацыі і Кіеўскім палітэхнічным інстытуце.

1933-1941 гг. – прафесар, загадчык кафедры тэорыі функцый Інстытута матэматыкі Харкаўскага ўніверсітэта.

1935-1940 гг. – адначасова дырэктар Харкаўскага авіяцыйнага інстытута.

1941-1943 гг. – прафесар, загадчык кафедры вышэйшай матэматыкі Казахстанскага горна-металургічнага інстытута.

1943-1947 гг. – прафесар кафедры вышэйшай матэматыкі Маскоўскага энергетычнага інстытута.

1947-1950 гг. – дырэктар Інстытута матэматыкі пры Харкаўскім універсітэце.

1947-1955 гг. – загадчык кафедры тэорыі і матэматычнай фізікі Харкаўскага палітэхнічнага інстытута, адначасова прафесар Харкаўскага ўніверсітэта.

1955 г. – да канца жыцця – прафесар Харкаўскага ўніверсітэта.

1970 г. – навуковы кансультант Фізіка-тэхнічнага інстытута нізкіх тэмператур Акадэміі навук Украінскай ССР (Харкаў).

З 1947 г. на працягу многіх гадоў узначальваў Харкаўскае матэматычнае таварыства, рэдагаваў яго часопіс.

Адзін з заснавальнікаў фізіка-матэматычнай школы № 27 у Харкаве (зараз – Харкаўскі фізіка-матэматычны ліцэй № 27).

1958 г. – удзельнік Сусветнага кангрэса матэматыкаў (Эдынбург, Шатландыя).

Спецыялізаваўся ў галіне канструктыўнай тэорыі функцый і тэорыі набліжэнняў. Аўтар прац па тэорыі функцый і матэматычнай фізіцы, функцыянальным аналізе, аэрадынаміцы, гісторыі матэматыкі. У тэорыі нелінейных інтэгральных сістэм увёў функцыі, вядомыя як функцыі Ахіезэра-Бэйкера. У матэматычнай вобласці комплекснага аналізу вядома тэарэма Фавара-Ахіезэра-Крэйна.

Аўтар больш чым за 150 навуковых прац.

Узнагароджаны медалём Л. Эйлера Акадэміі навук СССР (1957). Лаўрэат прэміі імя П.Л. Чэбышава Акадэміі навук СССР (1948).

У Харькаве занаваны Фонд імя Н.І. Ахіезера па падтрымцы маладых матэматыкаў (студэнтаў, аспірантаў, пачынаючых вучоных).